Fenêtre de tir

Soit la Terre supposée sphérique. Le champ gravitationnel est par conséquent central et en 1/rˆ2. L'orbite d'un satellite suivra les lois de Kepler. Pour mettre un satellite en orbite circulaire à la distance r°, il faut une vitesse d'origine V° perpendiculaire à OM°, de valeur V° telle que :

- V°^2/r° = - gR^2/ r°^2 soit V° = sqrt(gR).sqrt( R/r°)

On reconnaît dans sqrt (gR) = 8km/s la première vitesse cosmique V1, ou vitesse de Schuler. Comme r° = R + h avec h<

Le problème qui se pose alors est : si on se trompe légèrement sur le module (mais pas en direction), quel danger y a-t-il pour que le satellite s'écrase dans l'atmosphère (10km = 0 pour simplifier) ?

Si on se trompe légèrement dans la direction, même question ;

C'est le problème dit de la fenêtre de tir

Vitesse trop petite

Bonne direction et vitesse trop grande, M° est le périgée ;rien à craindre.

Bonne direction, vitesse trop petite, M° est l'apogée A : il faut que le périgée P, à l'opposé de la trajectoire soit à une distance OP > R :le grand axe 2a doit par conséquent être supérieur à r°+R.

On connaît la formule E° = énergie mécanique = - gRˆ2. m/2a = -gRˆ2m/r° +1/2 m V°ˆ2.

Donc V°ˆ2 > 2. gRˆ2[1/r°-1/ (r°+R) ] = 2. gRˆ3/r° (r°+R) ∼ gR (1-h/R) (1-h/2R) => V1 (1-h/2R). (1-h/4R).

Donc il ne faut pas se tromper qui plus est que 100h/4R % = 3% à 800km et 0.4% à 100km !

Mauvaise direction

Bon module, par conséquent bonne énergie par conséquent 2a = 2r°. Par conséquent M° est l'extrémité B du petit axe, qui se projette au centre C de l'ellipse, sur la droite parallèle à V°, passant par O : par conséquent l'excentricité e vaut sinα : le périgée sera à OP= a-c = r° (1-sinα)

soit sina < h/R , donc a < (~h/R) (=1/8 rd= 7° pour Spot).

et ∼1° pour h = 100km : c'est une petite fenêtre de tir, sans gravité : on sait pointer à mieux que le demi-degré !

Voir aussi

• lois de Kepler
• orbite
• mécanique céleste

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